Вы здесь

Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике

Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике

Ингредиенты вкусного блюда


Нет задачи, которая устояла бы под натиском разума.

Вольтер

В 1666 году, спустя несколько лет после смерти ее вдохновителя, Мерсенна, была основана Парижская академия наук. Жан Батист Кольбер, тогдашний министр финансов Франции, выделил значительные средства для этого престижного ныне учреждения. Постепенно в академию стали приглашать ведущих ученых со всего мира, и среди них были многие из тех, с кем переписывался Мерсенн. По сути, именно эта группа ученых дала толчок сему амбициозному проекту и воплотила его в жизнь.

Гран-при Ферма

В 1721 году Парижская академия наук учредила ряд премий, чтобы стимулировать развитие науки в определенных важных областях. Комитет, который выбирал задачи, состоял из общепризнанных экспертов мировой величины. Среди лауреатов этой премии были Колин Маклорен за работы по изучению падения тел (1724 год), Пьер Бугер и Шарль Этьенн Луи Камю за работы о корабельных мачтах (1727 год), Леонард Эйлер за изучение природы огня (1738 год), Шарль Огюстен де Кулон за исследования в теории трения (1781 год), Симеон Дени Пуассон за работы по электричеству и Жан Огюстен Френель за исследования дифракции (1812 год).

В то время задачи, которые оставил миру Ферма, отчаянно пытались решить многие математики, с переменным успехом постепенно доказывавшие сформулированные им утверждения. Теорема, которой посвящена эта книга, упорно сопротивлялась всем попыткам решения, за что получила название последней теоремы Ферма. Академия, с целью простимулировать исследования по этой теме, в 1816 году учредила премию тому, кто приведет доказательство последней теоремы Ферма. Многие ученые работали над этой проблемой и убеждали коллег заняться тем же.

Первые двести лет

Генрих Вильгельм Маттеус Ольберс был врачом и астрономом и проводил многие часы за наблюдениями звездного неба. В 1802 году, за год до Джузеппе Пьяцци, он обнаружил карликовую планету Цереру в том самом месте, где предсказал Гаусс, но затем потерял ее из вида. В 1807 году Ольберс открыл второй астероид и уступил Гауссу право назвать его. Гаусс предложил имя Веста в честь римской богини домашнего очага. Веста — самый яркий из всего пояса астероидов. Иногда его можно наблюдать с Земли невооруженным глазом наравне со звездами шестой величины.

Визит короля Людовика XIV в Парижскую академию наук в 1671 году. Гравюра Себастьяна Леклерка из книги «Мемуары по естественной истории животных».

Несколько миллиардов лет назад Веста потеряла 1 % массы вследствие удара, и множество осколков упали на Землю в виде метеоритов. Ольберс также размышлял над вопросом, почему ночное небо такое темное, несмотря на то что его освещает бесконечное множество звезд, от света которых должно быть светло как днем. Этот парадокс позднее получил название парадокса Ольберса. Когда он узнал о премии Парижской академии, то обратился к своему другу Карлу Фридриху Гауссу и предложил тому стать соискателем этой премии.

Немецкий астроном и врач Генрих Ольберс. Литография Рудольфа Зурландта.

21 марта 1816 года Гаусс ответил: «Признаюсь, что теорема Ферма сама по себе не представляет для меня большого интереса, так как я с легкостью могу сформулировать множество подобных теорем, которые нельзя будет ни доказать, ни опровергнуть». Несмотря на это, Гаусс тоже работал над решением, что следует из его личных записей, где приведены доказательства для n = 3 и n = 5. Неизвестно, пытался ли Гаусс доказать теорему до того, как Ольберс предложил ему заняться этой темой. Быть может, осознав трудность задачи, он предпочел отклонить приглашение и продолжить работу в одиночку, надеясь получить какой-то значимый результат, достойный публикации. Возможно, он действительно не уделил особого внимания этой задаче и предпочел обратиться к более интересным темам.

Несмотря на слова Гаусса, теорема не давала покоя великим математикам того времени, и они усердно занимались поисками доказательства. Теперь на кону стояла не только премия академии, но также известность и слава. Наступил срок подачи заявок, но доказательство не удалось найти никому! Неудивительно, что в академии совершенно не ожидали такого результата. До учреждения этой премии столь крупный ученый, как Эйлер, пытался найти доказательство, но ему удалось это сделать только для n = 3 примерно в 1760 году. Как уже говорилось в предыдущей главе, возможно, доказательство для этого случая нашел еще Ферма с помощью своего метода бесконечного спуска. Но теперь математическое сообщество могло бы спать спокойно, зная, что доказательство строго оформил и записал Эйлер. Было очевидно, что куб нельзя представить в виде суммы двух кубов, но что можно сказать о бесконечном множестве всех остальных степеней?

Привлекательность теоремы в научном сообществе неуклонно росла. Немецкий математик Иоганн Петер Густав Лежён-Дирихле (1805–1859) и француз Адриен Мари Лежандр (1752–1833) в 1825 году независимо друг от друга нашли доказательство для n = 5. В 1832 году Дирихле сделал еще один шаг и доказал теорему Ферма для n = 14. В 1839 году французГабриель Ламе (1795–1870) вошел в историю, доказав теорему для n = 7. Восемь лет спустя он объявил, что ему удалось найти доказательство в общем виде, но он ошибался. Доказать теорему Ферма для нескольких частных случаев удавалось многим математикам. Учитывая, что простых показателей степени бесконечно много, получается, что доказательство теоремы должно было занять бесконечно много времени?

Портрет немецкого математика Иоганна Петера Густава Лежёна-Дирихле.

Неожиданное действующее лицо

Надежда на то, что несколько случаев можно объединить в рамках одного доказательства, появилась благодаря усилиям француженки Софи Жермен (1776–1831) — возможно, величайшей женщины-математика всех времен. В 1823 году она доказала, что если р и 2р + 1 — два простых числа, больших 2, то хр + ур  = zp не имеет примитивных решений (то есть взаимно простых), в которых xyz не делилось бы на р. Согласно правилам академии, женщины не могли подавать свои работы лично, поэтому результаты Софи Жермен были переданы научному сообществу Лежандром и его коллегой Огюстеном Луи Коши.

Как уже говорилось в предыдущей главе, если бы теорему удалось доказать для всех показателей степени, являющихся простыми числами, то она была бы доказана для всех натуральных. Аналогично нетрудно видеть, что если целые решения х, у, z имеют общий множитель, то, поделив обе части на этот множитель, мы снова получим целое решение. Следовательно, доказательство теоремы для примитивных решений является ее общим доказательством для всех случаев. Начиная с работ Жермен стали различать два случая на множестве решений. Первый случай — ни х, ни у, ни z не делятся на р. Второй случай — либо х, либо у, либо z делится на р. Как говорил Лежандр, «одним росчерком пера» доказательство Жермен превращалось в доказательство теоремы Ферма для первого случая, то есть для огромного множества чисел. Для тех чисел, которых не хватало, чтобы доказать теорему для всех чисел меньше 100, доказательство привел сам Лежандр.

Письмо Софи Жермен математику Жозефу Луи Лагранжу. Благодаря этой французской женщине-математику в доказательстве последней теоремы Ферма был сделан большой шаг вперед.

Страницы


В нашей электронной онлайн библиотеке вы можете бесплатно и без регистрации прочитать «Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике» автора Виолант-и-Хольц Альберт на телефоне, андроиде, айфоне, айпаде. Сейчас вы находитесь в разделе „Глава 5Ингредиенты вкусного блюда“ на странице 1. Приятного чтения.