Вы здесь

Том 31. Тайная жизнь чисел. Любопытные разделы математики

Том 31. Тайная жизнь чисел. Любопытные разделы математики

Числа


Альберт! Перестань указывать Богу, что Ему делать!

Нильс Бор — Альберту Эйнштейну

Вначале были число и фигура. Когда человек попытался овладеть ими, родилась наука, и человек начал познавать окружающий мир. Развитие науки часто сопровождалось забавными, любопытными и даже анекдотичными случаями. Упомянуть их все или даже хотя бы самые известные из них — слишком обширная задача, так что мы остановились только на самых любопытных. Нашей единственной целью было показать читателю земную сторону математики, которую слишком часто считают наукой, недоступной простым смертным.

Великое изобретение

Паламед — персонаж древнегреческой мифологии, упоминаемый в легендах об Агамемноне и Ушссе — героях Троянской войны. Мы говорим о нем потому, что Платон иронично называет его создателем математики. По легенде, Паламед был создателем мер и весов, а также их концептуального выражения — числа. Он изобрел числа — что ни говори, не самое пустяковое открытие. Платон писал о предположительном существовании Паламеда с усмешкой: «Выходит, до того как Агамемнон поговорил с Паламедом, он не знал, сколько у него ног?» Непочтительный Платон был столь же острым на язык, как и его учитель, Сократ, которого даже приговорили к смерти за инакомыслие.

Цена истины

Древние греки считали, что если измерить величину а единицей измерения Ь, то дробь а/Ь будет мерой а. Иными словами, все, что можно измерить, имеет дробную меру, или, говоря современным языком, всякая мера эквивалентна рациональному числу и наоборот. К примеру, если отрезок имеет длину 70 см, а линейка — 20 см, то дробь 70/20 = 7/2 была мерой a, измеренной Ь. Так считали ученики пифагорейской школы. Но Гиппас из Метапонта (V век до н. э.) обнаружил, что измерить диагональ квадрата, выбрав в качестве меры его сторону, невозможно.

Подчеркиваем: не очень сложно, а именно невозможно.

Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной.

Если d = a/b, то очевидно, что мы можем выбрать а и Ь так, что они будут взаимно простыми. Достаточно сократить дробь а/b. Теперь рассмотрим самый простой случай — квадрат с единичной стороной. Теорема Пифагора гласит, что d2 = 12 + 12 = 1 + 1 = 2, то есть (а/b)2 = 2, или, если вы предпочитаете иной способ записи, а2 = 2Ь2.

Рассмотрим а подробнее. Если а четное, то b обязательно должно быть нечетным, так как мы предположили, что а и b взаимно простые. Так как а = 2р, предыдущее равенство примет вид (2р)2 = 4р2 = 2b2, следовательно, 2р2 = Ь2, откуда следует, что b2 (а следовательно, и Ь) четное. Но это невозможно, так как мы уже показали, что b должно быть нечетным.

Теперь предположим, что а нечетное. Тогда нечетным будет и a2. Однако а2 = 2Ь2, и это означает, что а2 четное, что противоречит нашей предпосылке. Как видите, получается нечто немыслимое, и первым это доказал пифагореец Гиппас.

Как известно, лучшее, что можно сделать, получив дурную весть, — это убить гонца. Ямвлих Халкидский восемь веков спустя утверждал, что пифагорейцы построили склеп, где должен будет упокоиться тот, кто откроет несоизмеримые величины. Существует несколько версий гибели Гиппаса. В самой милосердной версии он даже не упоминается и говорится лишь о том, что пифагорейцы принесли в жертву сто быков — столь велико было удивление, которое вызывали несоизмеримые величины. Так как пифагорейцы были вегетарианцами, эта гекатомба (что по-гречески и означает «сто быков») кажется возможной, но не слишком вероятной. В другой версии легенды Гиппас всего лишь был изгнан из пифагорейской школы. И в самом жестоком варианте он был сброшен в море с борта корабля. Как бы то ни было, вера пифагорейцев в истинность своего учения оставалась непоколебимой. Лишь Евдокс Книдский, открыв вещественные числа, смог разрешить загадку несоизмеримых величин.

Евангелисты, рыба и число 153

Одно из первых упоминаний о нумерологии в истории западной цивилизации содержится в 21-й главе Евангелия от Иоанна, где рассказывается о чуде в море Тивериадском, свидетелем которому стал Симон Петр, поймавший в сеть за один раз 153 рыбы. Разумеется, это чудо сотворил Иисус Христос.

Число 153 непременно должно обладать какими-то особыми свойствами. Действительно, это треугольное число. Читатель может сосчитать звездочки на рисунке и убедиться, что их действительно 153:

Однако этой причины недостаточно для упоминания в Евангелии. Рассмотрим равенства:

Мы видим, что 1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 1 + 2 + 6 + 24 + 120 = 153, как показано на схеме:

Это уже лучше, однако и теперь найдутся неверующие, для которых и этой причины недостаточно, чтобы считать 153 божественным числом. В поисках лучше го решения будем действовать так: поскольку Бог един в трех лицах, рассмотрим любое число, кратное 3, например 1728, возведем все его цифры в третью степень и сложим их:

13 + 73 + 23 + 83 = 864

83 + 63 + 43 = 792

Страницы


В нашей электронной онлайн библиотеке вы можете бесплатно и без регистрации прочитать «Том 31. Тайная жизнь чисел. Любопытные разделы математики» автора Наварро Хоакин на телефоне, андроиде, айфоне, айпаде. Сейчас вы находитесь в разделе „Глава 1Числа“ на странице 1. Приятного чтения.