Вы здесь

Teopeма Гёделя

Teopeма Гёделя

Проблема непротиворечивости


Для XIX столетия характерна резкая интенсификация и расширение проблематики математических исследований. Были решены многие важные математические проблемы, не поддававшиеся усилиям лучшие мыслителей прошлых времен. Возникли совершенно новые математические дисциплины. В различных областях математики были выдвинуты новые основополагающие принципы, а применение старых принципов стало гораздо более плодотворным благодаря их пересмотру с учетом новой, более совершенной техники математического мышления. Вот простой пример. Еще греческие математики выдвинули три задачи из области элементарной геометрии: разделить на три части произвольный угол при помощи только циркуля и линейки; построить куб, объем которого был бы вдвое больше объема данного куба; построить квадрат, площадь которого равнялась бы площади данного круга, Более двух тысяч лет эти задачи не поддавались решению, пока, наконец, в XIX столетии не было строго доказано, что предписываемые в них построения вообще нельзя осуществить. Эти результаты, интересные и сами по себе, вызвали глубокий интерес к изучению природы понятия числа и строения числового континуума (поскольку выяснилось, что для решения упомянутых задач недостаточны числа, являющиеся корнями уравнений, хорошо изученных еще античными математиками). Плодом этих исследований явились строгие определения, на основе которые удалось построить теории отрицательных, комплексных и иррациональных чисел. Была построена на прочной логической основе и общая теория действительных чисел. Возникла совершенно новая ветвь математики — теория бесконечных множеств и так называемых трансфинитных («бесконечных») чисел.

Но, пожалуй, наиболее важным достижением XIX века явилось решение еще одной задачи, также восходящей еще к грекам, которая с тех пор оставалась без ответа. В числе аксиом, на базе которых строилась евклидова систематизация геометрии, имеется так называемая аксиома параллельности. В предложенной Евклидом формулировке эта аксиома равносильна утверждению (хотя и не совпадает с ним), что через точку, лежащую вне данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной прямой. Еще античным математикам эта аксиома отнюдь не казалась самоочевидной. Поэтому они пытались доказать ее в качестве следствия из остальных аксиом Евклида, которые, напротив, представлялись им совершенно очевидными. Можно ли, однако, действительно получить искомое доказательство для аксиомы параллельности? Поколения математиков безуспешно пытались ответить на этот вопрос. Но неоднократные неудачи попыток построения искомого доказательства не означали еще, что никто не преуспеет в этом деле больше, чем в важной для человечества проблеме изобретения безотказно и на все времена действующего средства от насморка. Такое положение вещей продолжалось до середины XIX столетия — до тех пор, пока в работах Гаусса, Бойаи, Лобачевского, Римана и других математиков не была доказана невозможность вывода аксиомы параллельности из остальных аксиом евклидовой геометрии. Этот результат имел громадное значение для понимания природы нашего мышления. В первую очередь он привлек внимание к тому поразительному факту, что можно доказать в качестве теоремы невозможность доказательства некоторых утверждений средствами данной системы.

Как мы увидим ниже, теорема Гёделя, которой посвящена наша книга, состоит в доказательстве невозможности доказательства некоторых арифметических утверждений средствами арифметики. Кроме того, разрешение старой проблемы об аксиоме параллельности неизбежно приводило к выводу, что аксиоматика Евклида отнюдь не является последним словом геометрии, — ведь можно, оказывается, построить новые геометрические системы, исходя из перечней аксиом, отличных от евклидовых и даже несовместимых с ними. Например, как хорошо известно, чрезвычайно интересные и плодотворные результаты были получены заменой евклидовой аксиомы параллельных допущением, согласно которому через точку, лежащую вне данной прямой, можно провести более чем одну прямую, параллельную этой прямой, или же, напротив, допущением, согласно которому параллельных прямых вообще не бывает. Традиционное убеждение, что аксиомы геометрии (или вообще аксиомы любой науки) могут быть приняты на основании их «самоочевидности», было, таким образом, совершенно подорвано. Более того, постепенно стало все более и более ясным, что подлинным предметом чистой математики является вывод теорем из постулированных допущений и что вопрос о том, являются ли аксиомы, принятые математиком для той или иной цели, в самом деле истинными, есть совсем не его забота. Наконец, плодотворные модификации ортодоксальной геометрической аксиоматики привели к пересмотру и уточнению аксиоматической базы многих других математических дисциплин.

На аксиоматической основе были полностью перестроены и такие области науки, которые до тех пор строились лишь более или менее интуитивным образом. Например, так строилась обычная арифметика натуральных чисел, до тех пор пока в 1899 г. итальянский математик Дж. Пеано, исходивший из несколько более ранней аксиоматики немецкого математика Р. Дедекинда, не аксиоматизировал ее.

Из всех критических работ по основаниям математики в конечном счете вытекает, что привычная трактовка математики как некоей науки «о числах» только способна вводить в заблуждение и никоим образом не соответствует подлинной сути дела. Ведь стало совершенно очевидным, что математика есть попросту наука, изучающая получение логических следствий из некоторых заданных аксиом, или постулатов. Фактически стало общепризнанным то обстоятельство, что математические выводы и заключения не имеют никакого другого смысла, помимо того в некотором роде специального смысла, который связан с терминами или выражениями, входящими в постулаты. Таким образом, математика оказалась даже еще значительно более абстрактной и формальной наукой, чем это было принято считать: более абстрактной — поскольку математические предложения в принципе могут быть истолкованы скорее как утверждения о чем угодно, а не как утверждения, относящиеся к некоторым фиксированным множествам предметов и неотъемлемым свойствам этих предметов; более формальной — поскольку правильность математических доказательств гарантируется чисто формальной структурой некоторых предложений, а отнюдь не содержанием этих предложений.

Постулаты любого раздела математики говорят вовсе не о специфических свойствах пространства, углов, точек, чисел, множеств и т. п., причем никакое специальное значение, которое можно связать с терминами (или «описательными предикатами»), фигурирующими в постулатах, решительно не играет роли в процессе доказательства теории. Повторяем: единственный вопрос, встающий перед чистым математиком (в отличие от естествоиспытателя, применяющего математику для решения конкретных задач), состоит вовсе не в том, истинны ли принятые им постулаты и полученные из постулатов следствия, а в том, действительно ли являются полученные им заключения логически необходимыми следствиями из начальных допущений.

Как показал еще Давид Гильберт (1899), обычные значения, приписываемые первоначальным терминам, можно полностью игнорировать, и единственные «значения», которые следует с ними связывать, сводятся к тому, что о них сказано в аксиомах, описывающих свойства обозначаемых ими понятий.

Можно сказать, что первоначальные термины «неявно» определены аксиомами и что все, что не покрывается этими неявными определениями, не играет никакой роли в доказательствах теорем.

Именно этот факт отражен в знаменитом афоризме Бертрана Рассела: «Чистая математика — это такой предмет, где мы не знаем, о чем мы говорим, и не знаем, истинно ли то, что мы говорим».

В область чистой абстракции, очищенную от каких было ни было привычных ассоциаций, войти, конечно, не так-то легко. Но наградой нам служит свобода и непредвзятость мышления. Последовательная формализация математики освобождает наш разум от ограничений, которые привычная интерпретация математических выражений накладывает на вновь вводимые системы постулатов. Так возникли совершенно новые типы «алгебр» и «геометрий», весьма значительно отклоняющиеся от математических традиций. Поскольку значения некоторых терминов стали гораздо более общими, обозначаемые этими терминами понятия стали употребляться в более широком смысле, а выводы, делаемые с помощью этих понятий, оказались подверженными меньшим ограничениям. Плодом формализации явились разнообразные системы, представляющие большой математический интерес и ценность.

Следует отметить, что некоторые из этих систем не допускают столь очевидных интуитивных (т. е. согласующихся с обыденным словоупотреблением) интерпретаций, как, например, евклидова геометрия или арифметика, но это обстоятельство отнюдь не должно внушать тревогу. Ведь интуиция — штука довольно- таки растяжимая. Нашим детям, возможно, нетрудно будет принять в качестве интуитивно очевидных истин некоторые парадоксальные утверждения теории относительности, не смущают же нас некоторые идеи, отнюдь не казавшиеся интуитивно очевидными нашим предкам. Интуиция — не слишком-то надежный руководитель; во всяком случае ее нельзя считать удовлетворительным критерием для оценки истинности и плодотворности научных открытий.

Однако усугубившаяся абстрактность математики породила и более серьезную проблему: для каждой данной системы постулатов встает вопрос, является ли она внутренне непротиворечивой, т. е. не может ли оказаться, что из этой системы выводятся теоремы, противоречащие друг другу. Проблема не представляется очень уж актуальной, если речь идет об аксиомах, описывающих некоторую определенную и хорошо известную область объектов; если данные аксиомы действительно верны для данной области объектов, вполне естественно считать систему непротиворечивой. Коль скоро, например, предполагалось, что аксиомы Евклида являются истинными утверждениями о пространстве (или о пространственных объектах), то никакой математик до середины XIX столетия не стал бы просто и рассматривать всерьез вопрос о том, нельзя ли из этих аксиом получить пару противоречащих друг другу теорем. Такая уверенность в непротиворечивости евклидовой геометрии основывалась на том совершенно разумном принципе, согласно которому логически несовместимые утверждения не могут быть одновременно истинными; таким образом, никакое множество истинных утверждений (а именно это предполагалось относительно аксиом Евклида) не должно быть внутренне непротиворечивым.

Известны различные виды неевклидовых геометрий. Вначале системы аксиом для таких геометрий рассматривались как безусловно ложные по отношению к окружающему нас пространству, да и вопрос об их истинности относительно какой бы то ни было другой области казался весьма сомнительным. В связи с этим и проблема доказательства внутренней непротиворечивости неевклидовых систем казалась весьма трудной, если вообще осуществимой. Скажем, в геометрии Римана евклидов постулат параллельности заменяется соглашением, согласно которому через произвольную точку, не лежащую на данной прямой, нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной.

В таком случае возникает вопрос: а совместима ли система римановских постулатов? Кажется совершенно ясным, что пространству, данному нам в нашем повседневном опыте, система эта не соответствует. Каким же образом можно было бы тогда все-таки рассчитывать установить непротиворечивость этой системы? Как доказать, что в такой системе не могут быть доказаны две противоречащие друг другу теоремы?

Для решения проблемы был предложен один общий метод. Основная идея его состоит в том, чтобы найти «модель» (или «интерпретацию») для абстрактных постулатов рассматриваемой системы, т. е. чтобы каждый постулат оказался истинным утверждением об объектах такой модели, что и свидетельствовало бы о непротиворечивости (совместимости) системы абстрактных постулатов. Рассмотрим, например, следующую систему постулатов, в формулировки которых входят два класса K и L, подлинная «природа» которых остается неопределенной, если не считать того, что сами постулаты «неявно» определяют эти классы.

1. Любые два (различных) члена класса K принадлежат в точности одному члену класса L.

2. Ни один член класса K не принадлежит более чем двум (различным) членам класса L.

3. Не все члены класса K принадлежат одному и тому же члену класса L.

Страницы


В нашей электронной онлайн библиотеке вы можете бесплатно и без регистрации прочитать «Teopeма Гёделя» автора Нагель Эрнст на телефоне, андроиде, айфоне, айпаде. Сейчас вы находитесь в разделе „2Проблема непротиворечивости“ на странице 1. Приятного чтения.