Вы здесь

Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма

Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма

Современная теория чисел


Несмотря на важность Великой теоремы Ферма для последующего развития математики, если бы она стала его единственным вкладом в науку, фигура тулузского юриста не обладала бы такой значимостью. Но Ферма был первоклассным математиком, для многих историков — мыслителем, равным Архимеду, Эйлеру или Гауссу. Он внес важный вклад в одну из своих любимых областей — современную теорию чисел, которую сам же и создал.

Собственные делители числа, или его аликвоты (включая число 1, которое всегда является делителем любого числа),— это делители, отличающиеся от самого числа, на которые оно делится без остатка. А совершенное число — это число, равное сумме всех своих собственных делителей.

Приведем пример. Собственными делителями числа 6 являются 1,2 и 3, а 1+2 + 3 = 6. Следовательно, 6 — это совершенное число, первое, но не единственное из этих чисел. Пифагорейцы придавали большое значение мистике совершенных чисел. В частности, 6 сочетало в себе три первых числа, которые имели важное мистическое значение (единство, двойственность и троица как смесь единства и двойственности); 6 — объединение всех этих значений.

Греки обнаружили только четыре первых совершенных числа: 6, 28, 496 и 8128. Пятое было открыто лишь в XV веке: 33 550 336. Найти совершенное число нелегко. В марте 2012 года было известно только 47 из них, самое большое из которых содержит 25956377 знаков.

Евклид известен как великий геометр, но, однако, меньше всего обращают внимание на то, что в его "Началах" содержится много арифметических теорем. Знаменитому греческому математику мы обязаны, например, знанием того, что количество простых чисел бесконечно. В области совершенных чисел он доказал удивительный результат (см. рисунок): пусть N = 2n(2n+1 - 1) - 2nM, где под М мы подразумеваем множитель 2n+1 - 1 (М — одно из так называемых чисел Мерсенна, как мы увидим далее). Тогда, говорит нам Евклид, N — совершенное число, если М — простое.

Как можно легко заметить, все эти числа N четные. Мы пока не знаем, существуют ли нечетные совершенные числа. Это одна из больших открытых проблем в теории чисел. Однако известно, что если они существуют, то они должны соответствовать ряду очень сложных условий. Многие математики думают, что было бы чудом, если бы они существовали. Мы также не знаем, бесконечно ли количество чисел вида Ν, поскольку неизвестно, бесконечно ли количество простых чисел вида M, то есть простых чисел Мерсенна. Через несколько лет после смерти Ферма Эйлер доказал, что теорема, обратная теореме Евклида, верна: любое совершенное число можно записать в виде Ν.

Очевидно, что существуют несовершенные числа. Они делятся на два типа: избыточные (сумма их собственных делителей меньше самого числа) и недостаточные (меньше этой суммы).

Графическое представление совершенного числа.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО БЕСКОНЕЧНОСТИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

Данное доказательство принадлежит Евклиду, и оно осуществляется уже известным нам методом от противного. Предположим, что вывод ложен и количество простых чисел конечно. Это означает, что существует самое большое простое число. Назовем его pn. Теперь составим число N из произведения всех простых чисел плюс один: N = p1p2... pn-1 pn + 1 = An + 1. Такое число не делится ни на одно простое число от p1 до pn, поскольку тогда на них должно было бы делиться как An, так и 1, и ясно, что ни одно число не является делителем 1, кроме него самого. То есть либо N — простое число, либо оно содержит простые множители, большие pn. Следовательно, мы нашли простое число, большее pn, что противоречит нашей гипотезе о том, что pn — самое большое простое число. Получается, гипотеза ложна и количество простых чисел бесконечно.

Наконец, есть другие числа, тесно связанные с совершенными: так называемые дружественные числа. Два числа называются дружественными, когда сумма собственных делителей одного равна другому, и наоборот. В античности единственной известной парой дружественных чисел были 220 и 284. Действительно, собственные делители 220 — это 1,2,4,5,10,11,20, 22,44,55,110,а 284- 1 + 2 + 4+ 5+ 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110. Аналогично, собственные делители 284 — это 1, 2, 4, 71, 142, а 220 - 1 + 2 + 4 + 71 + 142.

У этой пары дружественных чисел также было магико-мистическое значение. В Средние века верили, что если два человека съедят два куска хлеба, на каждом из которых написано одно из этих чисел, то они будут друзьями навсегда, даже если раньше не были знакомы.

Возрождение пифагорейского мистицизма в начале Нового времени поддерживало интерес к этим проблемам.

В книге "Трактат о всеобщей гармонии" Мерсенн утверждал, что Ферма открыл пару дружественных чисел, 17 296 и 18416, первую такую пару, обнаруженную со времен античности. Также, если верить данной книге, Ферма доказал, что как 120, так и 672 являются недостаточными числами, равными половине суммы их собственных делителей (эта сумма равна 240 и 1344 соответственно). Такие числа известны как мультисовершенные, или k-совершенные.

[Среди] знатных людей... которые внесли вклад в эту область математики и которых никто не может научить ничему новому, я бы повторил имя... [Этьена Паскаля] и добавил бы имя господина Ферма...

Комментарий Марена Мерсенна в книге "Трактат о всеобщей гармонии" (1636)

Итак, уже в 1636 году Ферма задумывался о том, как определить сумму собственных делителей заданного числа. На тот момент он уже явно знал, как это сделать. Его способ так и не был опубликован и сейчас утерян. Однако до нас дошел метод, которым мы обязаны Рене Декарту. Поскольку любое число может быть выражено в виде произведения степеней его простых множителей, N =p1k1p2k2...pnkn , собственные делители — это все возможные сочетания между данными множителями. Например, 1452 = 22 · 3 · 112, и его собственными делителями являются 2, 3, 11, 22, 112, 2 · 3, 22 · 3 и так далее, включая все сочетания. Декарт нашел формулу, которая на основе предыдущих результатов предлагала новый собственный делитель, пока все они не заканчивались. Это известно как рекурсивная формула. Метод Ферма явно аналогичный.

Математик получил несколько результатов на основе своего метода. Он послал Мерсенну пару решений, которые тот включил во вторую часть своей "Гармонии", опубликованной в 1637 году. Например, он предлагал общий метод нахождения дружественных чисел, подобный по структуре способу, который применял Евклид для нахождения совершенных чисел. Так, если три числа А = 32 · 22n-1, В = 3 · 2n-1 и С = 3 х 2n-1 - 1 простые, то 2nА и 2nВС дружественные. Обратите внимание на сходство данного результата с результатом Евклида о совершенных числах. Второй результат содержал подобную формулу для особого случая мультисовершенных чисел, которые являются третьей частью от суммы их собственных делителей. Рассуждение было аналогичным: если число некоего вида простое, то результат формулы — это число, дающее при умножении на 3 сумму собственных делителей. Ферма утверждал, что нашел подобные формулы для других мультисовершенных чисел, но они так и не стали известны.

У всех этих задач есть одна общая предпосылка: в каждой из них, прежде чем утверждать, можно считать число совершенным или пару чисел дружественными, или какое-то из них — мультисовершенным, нужно понять, являются ли некоторые числа определенной структуры простыми. Следовательно, нет ничего странного в том, что в переписке с Мерсенном в конце 1630-х годов Ферма все больше интересовало, существует ли способ установить, является ли число некоего вида простым.

Страницы


В нашей электронной онлайн библиотеке вы можете бесплатно и без регистрации прочитать «Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма» автора Alvarez Luis на телефоне, андроиде, айфоне, айпаде. Сейчас вы находитесь в разделе „ГЛАВА 3Современная теория чисел“ на странице 1. Приятного чтения.