Вы здесь

Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма

Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма

Теорема, которую доказывали 350 лет


Несмотря на свою кажущуюся простоту, Последняя теорема Ферма мучила самых лучших математиков в мире не больше и не меньше, чем 350 лет. Раз за разом они пытались доказать ее и всегда терпели неудачу, пока в конце XX века одному британскому математику не удалось сделать то, что до тех пор казалось невозможным.

Представим себе на мгновение: человек с длинными волосами, ссутулившийся, склоняется при свете свечи над экземпляром «Арифметики» греческого математика Диофанта Александрийского (ок. 214 — ок. 298). Прочитав одну из его теорем, он немного размышляет, улыбается, смачивает перо и на полях книги пишет фразу на латыни. Делает паузу, снова берет перо и добавляет: «[...] cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi, hone margnis exiguitas non caperet». To есть: «[...] я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля здесь слишком узки, чтобы записать его».

Очевидно, вскоре этот человек пошел спать. На следующий день его ждали срочные дела в парламенте. Мы не знаем, сколько раз он вспоминал об этой маленькой записи. Возможно, он так и не вернулся к мысли о ней. Мог ли он подумать, что его немногочисленные слова породят одну из самых страстных одиссей в истории математики и что в течение веков они будут мучить самые блистательные умы в мире? Маловероятно. Пьер де Ферма — главное действующее лицо описанной нами сцены — увлекался играми и головоломками, но вряд ли той ночью он предвидел, что создал самую знаменитую математическую загадку всех времен.

Действительно, потомки узнали о ней, можно сказать, чудом. В виде личной заметки на полях книги она могла просто исчезнуть наряду с другими более или менее многочисленными тривиальными мелочами в жизни. Но эта пометка пережила своего автора, ее открыли и напечатали, и она превратилась в царицу задач, которые, казалось, невозможно решить. Мир продолжал вращаться. В эпоху Ферма Францией правил кардинал Ришелье, что описано Александром Дюма в бессмертных "Трех мушкетерах", в то время как король предавался развлечениям. Ришелье умер; Франция прошла через ряд восстаний, известных как Фронда; был Король-Солнце, а затем Просвещение, Революция, бурный XIX век и еще более драматичный XX век. И пока текла история, теорема, которую Ферма, по его словам, доказал, оставалась по-прежнему недоказанной, выдерживая все атаки, все попытки раскрыть ее тайну: это доказательство, которое не помещалось на полях, также не находило места и в умах самых великих математиков.

Ускорим наше повествование. Сейчас мы в 1993 году, в мире компьютеров. Распался СССР. Еще не существует социальных сетей, но есть их предок под названием юзнет, на который были подписаны только люди, связанные с академическим миром, — их абсурдно мало по сравнению с современными пользователями различных социальных сетей. Вдруг эта первоначальная сеть, обычно сонная, начала кипеть от возбуждения. Сообщения следовали друг за другом как молнии, сопровождаемые терминами, которые неспециалист не мог бы понять: модулярные функции, эллиптические кривые, группы Галуа, теория Ивасавы, гипотеза Таниямы-Симуры.

Постепенно в сети складывалась картина того, что произошло. Эндрю Уайлс, британский математик, специалист в области эллиптических кривых, прочитал в Институте Исаака Ньютона в Кембридже три лекции, в течение которых он постепенно, терпеливо, применив драматическое искусство, достойное Лоуренса Оливье, подводил слушателей к неизбежному результату.

В течение нескольких лет Уайлс работал секретно, как алхимик, не делясь ни с кем не то что результатами, но даже темой своего проекта. Он не хотел, чтобы кто-нибудь забрал его славу решения одной из самых сложных проблем в мире математики.

Хотя и ходили какие-то слухи в виде электронных писем, когда какой-нибудь коллега спрашивал его о содержании лекций, он ограничивался тем, что улыбался и отвечал: "Приходи на лекции и увидишь".

Такая таинственность подстегивала любопытство. Итак, аудитория из 200 человек, состоящая из опытных специалистов и некоторых докторантов, кипела с каждой проходящей минутой. Когда Уайлс объявил о лекциях, он хорошо постарался спрятать проект под внешне безобидным названием. Однако по мере того как он продвигался в изложении, ученые начинали понимать, о чем идет речь. Они писали электронные письма в паузах между лекциями, находясь в ожидании того, что, как они себе представляли, должно было произойти. В гробовом молчании аудитории докладчик заполнял доску за доской сложнейшей математикой. Наконец, Уайлс написал еще несколько строчек, дополняющих доказательство, сделал драматическую паузу и нацарапал то, что утверждается в Последней теореме Ферма. Улыбаясь, он повернулся к публике и сказал: "Думаю, что остановлюсь здесь".

Защелкали фотоаппараты, начались овации, аплодисменты. Одна из самых сложных проблем в мире (она же — одна из самых старых нерешенных задач) в конце концов пала под натиском систематической атаки блестящего математика, который более десятилетия работал один. Но как это возможно? Неужели Уайлс открыл доказательство Ферма? Нет, история намного сложнее. На самом деле аплодисменты были преждевременными: в доказательстве Уайлса содержалась роковая ошибка. Самоизоляция сыграла с ним плохую шутку: поскольку ученый не делился своими достижениями, никто не смог указать ему на это. А в математике только одна ошибка, только один ложный шаг делает непригодным все доказательство: оно разваливается, как карточный домик, из которого убрали лишь одну из карт. Так что сокрушенному Уайлсу пришлось вернуться в кабинет и продолжить работу, чтобы получить неопровержимое доказательство, которое ему наконец удалось опубликовать в 1994 году. Но оставим на некоторое время Уайлса в момент его наивысшей славы.

ПОСЛЕДНЯЯ ТЕОРЕМА

Пора вернуться к Ферма и ознакомиться с его последней теоремой. Вывод, который математик записал на латыни на небольших полях книги, был следующим:

"Невозможно записать куб в виде суммы двух кубов или четвертую степень в виде суммы двух четвертых степеней, и в целом любое число, являющееся степенью больше двух, не может быть записано в виде суммы двух степеней того же уровня".

В современной алгебраической записи эта теорема утверждает, что уравнение хⁿ + уⁿ = zⁿ при n > 2 не имеет натуральных решений; то есть не существует натуральных чисел и которые соответствуют заданному условию: иметь кубическую (или большую) степень, которая была бы суммой двух кубических степеней (или больших того же уровня).

Теорема Ферма применяется исключительно к натуральным числам (тем, с помощью которых мы считаем предметы: 1, 2,3,... и так до бесконечности); хотя в оригинальном высказывании автор не сформулировал данного условия открыто, это понятно из контекста.

Геометрическое представление теоремы Пифагора.

Стоит спросить, почему Ферма говорит только о показателях степени больше двух. Ответ прост. Для случая n = 1 мы имеем тривиальное высказывание: действительно, любое натуральное число, большее единицы, может быть выражено в виде суммы двух других чисел (необязательно различающихся между собой). Если n = 2, мы сталкиваемся с известнейшей теоремой Пифагора (см. рисунок), выраженной в алгебраической форме: x2 + у2 = z2.

У этого уравнения не существует решений для любых натуральных чисел; но все-таки какие-то решения найти можно. Первое из них — это x = 3, у = 4 и z = 5:

32 + 42 = 9 + 16 - 25 = 52.

Страницы


В нашей электронной онлайн библиотеке вы можете бесплатно и без регистрации прочитать «Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма» автора Alvarez Luis на телефоне, андроиде, айфоне, айпаде. Сейчас вы находитесь в разделе „ГЛАВА 1Теорема, которую доказывали 350 лет“ на странице 1. Приятного чтения.