Вы здесь

Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии

Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии

Геометрия В XXI веке


Открытие неевклидовых пространств совершенно изменило роль геометрии. Древняя наука об «измерении форм» проникла во все области человеческого знания. Геометрия превратилась из математического ручейка в полноводное море, она перестала быть ограничена узкими рамками евклидова мира и теперь сама открывает безграничный простор воображению. Из наблюдения за объектами и явлениями возникли различные другие виды геометрии. Именно геометрия повышает сложность науки.

В этой главе мы подробнее — хотя, конечно, не во всей полноте — рассмотрим возрастающую важность геометрии в наше время.

Интегральная геометрия

В конце XX века появился раздел геометрии, который включил в себя статистику и теорию вероятностей. Эта современная геометрия, совершенно не похожая на евклидову, называется интегральной геометрией. Одним из ее основоположников был Луи Сантало (1911–2001), выдающийся испанский математик и педагог. Как это часто бывает, новая дисциплина возникла при попытке решить классическую задачу. Результаты многолетних исследований Сантало опубликовал в своей книге «Интегральная геометрия и геометрические вероятности».

Задача, известная как «игла Бюффона», с которой началась интегральная геометрия, была сформулирована Жоржем Луи Леклерком, графом де Бюффоном (1707–1788). В 1777 г. граф опубликовал четвертый том своей важнейшей работы «Дополнение к естественной истории». Он включил в него статью со странным названием Essai dArithmetique Moral («Опыт моральной арифметики»). В этой статье граф попытался применить математику к изучению условий жизни человека. Именно там приведена задача об игле Бюффона:

«На листе бумаги имеются горизонтальные прямые линии, расположенные на расстоянии d друг от друга. Мы бросаем иглу длиной l, где l < d. Какова вероятность того, что игла пересечет одну из линий?»

Эксперимент состоит в том, что на лист бумаги, расчерченный параллельными линиями на расстоянии d друг от друга, бросается игла длиной l. Игла может пересечь одну из параллельных линий, а может и не пересечь. Самым удивительным является то, что этот эксперимент позволяет получить число π с хорошим приближением. Эксперимент связывает элементы классической геометрии, такие как области и расстояния, с теорией вероятностей.

* * *

БЮФФОН И МОРАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА

Граф де Бюффон был французским интеллектуалом в эпоху Просвещения. Его настоящее имя Жорж-Луи Лекперк, титул графа был пожалован ему Людовиком XV. Граф де Бюффон был выдающимся естествоиспытателем, его главная работа, «Естественная история», содержит 36 томов. Его геологические исследования и попытка определить возраст Земли привели к серьезным проблемам с католической церковью.

Несмотря на то, что он сильно ошибся, его цифра значительно превышала библейские 6000 лет. Его судили, и ему пришлось отречься от своей теории, но втайне он продолжал уточнять свои расчеты. Бюффон был избран членом Парижской Академии наук в 1734 г.

В своей работе «Опыт моральной арифметики» граф попытался измерить эмоции, надежды и страхи человечества. Для этого ему нужно было найти количественные единицы для своих измерений. За основу он выбрал страх смерти, который мог иметь положительное или отрицательное значение (надежда или страх) при перемене знака.

Граф де Бюффон считал азартные игры самой вредной человеческой страстью, и это привело его к изучению сущности вероятности. Будучи знакомым с теорией вероятностей, основы которой заложил Якоб Бернулли в 1713 г., Бюффон связал вероятность с числами, а затем попытался количественно описать влияние вероятности на поведение людей. Эти результаты легли в основу «моральной арифметики».

Граф де Бюффон предположил, что геометрия может быть эффективным инструментом для вычисления вероятностей. Он писал: «Анализ — единственное средство, которым до сего дня пользовались в науке о вероятностях, а геометрия представлялась малопригодной в столь тонком деле. Тем не менее, если обдумать это как следует, нетрудно распознать, что это преимущество анализа перед геометрией чисто случайно и что шанс находится равным образом в ведении и геометрии, и анализа».

Портрет графа де Бюффона, интеллектуала эпохи Просвещения, написанный Друз в 1753 г.

* * *

Пусть Р — вероятность того, что прямая линия будет пересекаться с иглой, тогда мы имеем:

Если l <= d, то мы имеем (v/n) = (2·l/π·d), откуда π = (2·l·n)/v·d

Бюффон доказал формулу π = (2·l·n)/v·d прямыми, но очень сложными вычислениями.

Страницы


В нашей электронной онлайн библиотеке вы можете бесплатно и без регистрации прочитать «Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии» автора Гомес Жуан на телефоне, андроиде, айфоне, айпаде. Сейчас вы находитесь в разделе „Глава 8Геометрия В XXI веке“ на странице 1. Приятного чтения.