Вы здесь

Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии

Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии

Эллиптическая геометрия


Имя немецкого математика Бернхарда Римана вписано большими буквами в историю математики. Эллиптическая геометрия — это удивительное детище его математического гения. Именно он представил прямые линии на таких поверхностях, как шар или мяч для регби, в виде окружностей.

Третья геометрия

Поверхность эллипсоида наиболее часто используется для визуализации и интерпретации эллиптической геометрии, отсюда и термин «эллиптическая геометрия».

Чтобы наиболее ясно продемонстрировать свойства этой геометрии, мы рассмотрим поверхность сферы, которая представляет собой самый простой, частный случай эллипсоида.

С помощью эллипсоида можно представить эту геометрию в очень интересной форме. Рассмотрим сначала более подробно поверхность эллипсоида.

* * *

ЭЛЛИПС

Эллипсом называется такая кривая, сумма расстояний от любой точки которой до двух фиксированных точек (так называемых фокусов) является постоянной

Круг является частным случаем эллипса, когда оба фокуса находятся в одной точке.

* * *

Эллипсоид получается путем вращения эллипса вокруг одной из его осей симметрии. Эллипсоид напоминает апельсин или лимон, а также планету Земля. Земля на самом деле является не сферой, а эллипсоидом, так как она приплюснута на полюсах. Однако для простоты мы будем считать земной шар идеальной сферой.

Для того чтобы понять следующий пример, нам придется включить воображение и вспомнить про Гулливера, путешествующего по стране лилипутов. Представим себе, что эти существа живут на поверхности эллипсоида, и им нужно сделать несколько измерений с помощью транспортира.

На поверхности эллипсоида нарисован треугольник, вершинами которого являются точки А, В и С. Представьте себе, что два внутренних угла при основании треугольника равны 90° каждый, их измерили живущие на поверхности лилипуты с помощью гигантского транспортира. Верхний угол треугольника будет очень мал, но нам не нужно знать его величину в градусах, так как мы уже видим, что сумма внутренних углов треугольника, нарисованного на поверхности эллипсоида, больше 180°. Это противоречит одной из основных теорем геометрии Евклида: сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180°. В эллиптической геометрии все совсем иначе: сумма внутренних углов треугольника, нарисованного на поверхности эллипсоида, всегда будет больше 180°.

В эллиптической геометрии невозможно провести прямую, параллельную данной прямой. Поэтому мы можем сказать, что эллиптическая геометрия отказывается от пятого постулата Евклида, заменяя его другим:

«Через точку вне данной прямой не проходит ни одной прямой, параллельной данной».

Сферическая геометрия является частным случаем геометрии на поверхности эллипсоида. Она очень проста и интуитивно понятна и позволяет довольно легко визуализировать результаты Римана. Поэтому ее стоит рассмотреть в качестве модели эллиптической геометрии.

Терминология сферической геометрии

Сфера — это поверхность, полученная путем вращения окружности вокруг ее диаметра. Плоскость, которая не пересекает сферу, называется внешней по отношению к ней. Если плоскость пересекает сферу только в одной точке, она называется касательной к сфере; в противном случае она будет пересекать сферу по окружности и будет называться секущей плоскостью. Если секущая плоскость проходит через центр сферы, полученное сечение называется большой окружностью.

Рассмотрим две точки А и В, такие, что отрезок соединяющий их, проходит через центр сферы О. Эти две точки называются диаметрально противоположными.

В этом случае большие круги, проходящие через диаметр АОВ, называются меридианами, а точки А и В называются полюсами. Для каждой пары таких точек А и В существует один большой круг, перпендикулярный диаметру АОВ, который называется экватором.

Страницы


В нашей электронной онлайн библиотеке вы можете бесплатно и без регистрации прочитать «Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии» автора Гомес Жуан на телефоне, андроиде, айфоне, айпаде. Сейчас вы находитесь в разделе „Глава 6Эллиптическая геометрия“ на странице 1. Приятного чтения.