Вы здесь

Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии

Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии

Становление неевклидовой геометрии


Самой первой неевклидовой геометрией была гиперболическая геометрия, которая возникла путем замены пятого постулата Евклида следующим утверждением:

«Через точку Р вне данной прямой проходит более одной прямой, параллельной данной».

Этим утверждением Лобачевский и Бойяи решили проблему постулата о параллельных прямых, и поэтому они являются основоположниками первой неевклидовой геометрии. Они оба считаются авторами гиперболической геометрии, хотя они даже не слышали друг о друге и совершили открытие независимо друг от друга.

Тому было несколько причин. Лобачевский писал только на русском языке, и его работы стали широко известны лишь через много лет после его смерти. Однако в настоящее время гиперболическая геометрия чаще всего ассоциируется именно с ним, а не с Бойяи, его коллегой из Венгрии.

Николай Лобачевский: русская душа гиперболической геометрии

23 февраля 1826 г. бывший учитель Николай Лобачевский поразил научное сообщество своей теорией о параллельных прямых на конференции, состоявшейся на физико-математическом факультете Казанского университета. Его первые результаты были опубликованы в 1829 г. в журнале Казанского университета. В 1835 г. он опубликовал работу целиком под названием «Новые начала геометрии», где утверждал:

«Всем известно, что в геометрии теория параллельных до сих пор оставалась несовершенной. Напрасное старание со времен Евклида заставило меня подозревать, что в самих понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказывать и которую проверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения. В справедливости моей догадки будучи наконец убежден, и почитая затруднительный вопрос решенным вполне, писал об этом я рассуждение в 1826 г.»

Николай Лобачевский

История гиперболической геометрии является историей первопроходцев и полна несправедливостей, а слава и почести пришли к ним слишком поздно. Нечто похожее часто происходит в истории науки на протяжении веков: два гения, опередившие время, независимо друг от друга получают одни и те же результаты примерно в одно и то же время.

Лобачевский происходил из бедной семьи государственных служащих. Родившись в Нижнем Новгороде, он большую часть жизни провел в Казани, ведя аскетичный образ жизни и полностью посвятив себя математике. Молодой Николай смог получить образование благодаря государственной стипендии и оказался удачной инвестицией царской России.

В 1814 г. он получил место преподавателя в Казанском университете, а через два года стал экстраординарным профессором. Он также отвечал за библиотеку и астрономическую обсерваторию.

В 1827 г. Лобачевский был избран ректором Казанского университета. Он занимал этот пост в течение 19 лет, которые стали периодом процветания университета.

Лобачевский провел фундаментальные реформы и всячески поддерживал научные исследования. Парадоксально, но его блестящие результаты в работе над пятым постулатом привели к его увольнению. Согласно одной из мрачных легенд в истории математики, в 1846 г. Лобачевский был уволен ведущим математиком того времени Михаилом Остроградским, который не мог принять того, что Лобачевский бросил вызов самому Евклиду.

Здоровье Лобачевского начало быстро ухудшаться, и в конечном итоге он потерял зрение. Ему пришлось диктовать многие из своих работ, в том числе свой последний труд «Пангеометрия» (1855). Умирая в Казани 24 февраля 1856 г., он понятия не имел о том, насколько была важна его работа для дальнейшего развития математики. Его научное наследие включает такие работы, как «О началах геометрии» (1829), «Воображаемая геометрия» (1835), «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» (1836) и «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» (1834–1838). В 1840 г. Лобачевский опубликовал небольшую книгу в 60 страниц, озаглавленную «Геометрические исследования по теории параллельных линий». Эта короткая работа широко разошлась в научных кругах того времени, но, несмотря на это, математическое сообщество было не готово принять заключенные в ней идеи.

В «Геометрических исследованиях» Лобачевский с большой ясностью объясняет, как работает неевклидова геометрия:

«Все прямые линии, выходящие в некоторой плоскости из одной точки, могут быть по отношению к некоторой заданной прямой той же плоскости разделены на два класса, именно на пересекающие ее и непересекающие. Граничная линия одного и другого класса этих линий называется параллельной заданной линии».

Его знаменитую формулировку альтернативной версии пятого постулата Евклида мы уже упоминали:

«Существуют две линии, параллельные данной прямой линии, которые проходят через данную точку вне данной прямой».

Исходя из этих предпосылок, Лобачевский вывел множество тригонометрических тождеств, лежащих в основе так называемой гиперболической тригонометрии.

Страницы


В нашей электронной онлайн библиотеке вы можете бесплатно и без регистрации прочитать «Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии» автора Гомес Жуан на телефоне, андроиде, айфоне, айпаде. Сейчас вы находитесь в разделе „Глава 4Становление неевклидовой геометрии“ на странице 1. Приятного чтения.