Вы здесь

Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел

Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел

Первые озарения гения чисел


Гаусс с самого юного возраста проявлял выдающиеся способности, привлекавшие внимание тех людей, которые помогли ему их развить. С самого начала своей научной карьеры он интересовался почти всеми областями математики. Однако его вклад в науку связан не только с великими открытиями, но и с самим понятием научной дисциплины, основанной на строгости доказательств.

Нам мало известно о детстве и юности Гаусса. Главный источник информации об этом периоде — сам ученый, рассказывавший истории о своем детстве студентам и друзьям.

Иоганн Фридрих Карл Гаусс родился в Брауншвейге, главном городе герцогства Брауншвейг-Вольфенбюттель, 30 апреля 1777 года. Он был единственным сыном Гебхарда Дитриха Гаусса, родившегося в 1744 году, и Доротеи Бенце. У его отца уже был сын от предыдущего брака. Гаусс никогда не использовал своего первого имени Иоганн и поменял местами следующие два: свои работы он подписывал как Карл Фридрих Гаусс и под этим именем и стал известен позже.

Дом Гауссов стоял на маленькой улице под названием Верденграбен. Позже его семья переехала в дом номер 30 по Вильгельмштрассе — улице, находившейся рядом с городским каналом, с которым связана одна из самых известных историй из детства математика. Когда ему было три или четыре года, мальчик упал в воду канала, но, к счастью, был сразу же спасен проходившим мимо крестьянином. Математическая наука в неоценимом долгу перед этим неизвестным человеком.

Родственники со стороны отца Гаусса были мелкими фермерами и переехали в Брауншвейг около 1740 года. Для семьи это означало надежду на процветание и лучшее будущее в то время, когда старый немецкий феодализм сменялся новым абсолютистским правительством. Однако процветание давалось нелегко: гильдии, которые с эпохи Средневековья контролировали деятельность ремесленников, сохранили свою власть и не допускали чужаков к активному предпринимательству Отец Гаусса поначалу был вынужден зарабатывать на жизнь как садовник, уличный мясник и бухгалтер в похоронном бюро. Семья поставила себе задачу приобрести собственный дом в черте города, что дало бы им доступ ко всем гражданским правам. Своей цели Гауссы достигли, однако через некоторое время после этого их мир перевернулся с ног на голову, и обычный уклад вновь был нарушен: Брауншвейг был завоеван войсками Наполеона.

Известно, что отец Гаусса был человеком резким, чрезвычайно порядочным, его строгость по отношению к сыну часто граничила с грубостью. Порядочность и упорство позволили Гауссу-старшему добиться некоторого бытового комфорта, но жизнь семьи не была легкой. Родитель не поддерживал стремление сына заниматься наукой и даже не понимал, как важно для него было получить образование, соответствующее способностям мальчика. Если бы мнение отца возобладало, талантливый юноша занялся бы одной из семейных профессий, и только ряд счастливых совпадений спас будущего математика от участи простого садовника или каменщика. В детстве Карл Фридрих был очень послушным. Он никогда не критиковал своего отца, но вполне ожидаемо, что и настоящей привязанности к нему не чувствовал. Гебхард Гаусс умер в 1806 году.

Семья матери ученого происходила из Фельпке, маленького города в Нижней Саксонии, рядом с Брауншвейгом. Доротея Бенце отличалась живым, веселым и сильным характером. Она умерла в очень почтенном возрасте — 97 лет, и последние 20 лет своей жизни прожила вместе с заботливым сыном в Гёттингене. Доротея всегда поддерживала сына в учебе и очень гордилась его научными достижениями. Рассказывают, что когда Вольфганг Бойяи (1775-1856), один из лучших друзей ученого, уверил ее, что Карл Фридрих войдет в историю как один из самых великих математиков, женщина расплакалась от радости.

Ни один из родителей ученого не получил более или менее приличного образования: отец едва умел читать и писать и немного знал элементарную арифметику. В старости Гаусс хвалился тем, что считать научился раньше, чем писать, а чтение освоил самостоятельно, разбирая по буквам письма от родственников и друзей семьи. Он сам рассказывал историю, которая говорит о его ранних математических способностях.

В три года, наблюдая за тем, как отец рассчитывает зарплату наемным работникам, мальчик заметил ошибку и сказал, каким должен быть результат. Гебхард пересчитал цифры и обнаружил, что сын прав. Это тем более удивительно, учитывая, что малыша никто не учил числам и тем более сложению. Мать Гаусса с трудом читала, а писать не умела вовсе, но при этом ученый никогда не чувствовал особой близости к отцу и всю жизнь утверждал, что унаследовал свои способности от матери.

Не знание, а процесс обучения, и не обладание, а ощущение того, что ты пришел к чему-то, доставляют наибольшее наслаждение.

Карл Фридрих Гаусс

Наиболее достоверная информация о немецком математике начинается с 1784 года, когда юный Карл поступил в начальную школу. В те времена это не было обычным занятием для детей, но в городе встречалось все же чаще, чем в селах, так что в этом смысле Гауссу очень повезло. Повезло ему и в другом: мальчик встретил необычайно талантливого учителя, который опекал его в первые годы обучения. Заслуга Бюттнера в том, что он вовремя заметил огромный талант Гаусса и выделял его среди более чем 50 одноклассников. В 1786 году учитель за свой счет даже запросил из Гамбурга специальные арифметические тексты для выдающегося воспитанника. Ассистентом Бюттнера в те годы работал Мартин Бартельс (1769-1836), который был всего на восемь лет старше Карла Фридриха. Позже Бартельс стал преподавателем математики в Казанском университете. Он также быстро заметил гениальность Гаусса и уделял мальчику пристальное внимание. Можно сказать, что они учились вместе, помогая друг другу расшифровывать учебники по алгебре и элементарному анализу. В те годы и начали зарождаться некоторые идеи и способы видения математики, ставшие позже характерными для Гаусса. Из учебников Бартельса юноша узнал о биноме Ньютона для нецелых показателей и бесконечных рядах, в эти же годы он сделал первые шаги в математическом анализе. Любопытно, что в Казанском университете Бартельс преподавал Николаю Лобачевскому (1792-1856), который впоследствии занялся разработкой неевклидовой геометрии — области, основоположником которой был именно Гаусс.

УЛУЧШАЯ РЕЗУЛЬТАТЫ НЬЮТОНА

В сотрудничестве со своим учителем Мартином Бартельсом молодой Гаусс получил новое доказательство бинома Ньютона с натуральными коэффициентами, то есть формулу, которая позволяет вычислить степень двучлена:

где

Это число сочетаний n по k, а n! = Πni-1i называется факториалом числа, и он равен произведению этого числа на все натуральные числа меньше него.

АРИФМЕТИКА С САМЫХ РАННИХ ЛЕТ

Известна история, из которой видно, насколько легко давались Гауссу арифметические вычисления. Когда мальчику было девять лет, учитель Бюттнер предложил своим ученикам сложить сто первых натуральных чисел, будучи уверенным в том, что это займет класс достаточно долго, а он в это время сможет отдохнуть. Обычно ученики, решив задачу, вставали и клали доску с решением перед учителем. И вот в то время как остальные ученики едва приступили к заданию, Гаусс уже положил свою доску на стол учителя, воскликнув: Ligget se! («Вот оно!»). Бюттнер подумал, что Гаусс просто дерзит ему, но когда он посмотрел на доску, то обнаружил, что на ней записан правильный ответ — 5050, причем не было приведено ни одного этапа вычислений. Учитель подумал, что каким-то образом проговорился об ответе, но тут юный Карл объяснил ход своих рассуждений. Гаусс не стал решать проблему в лоб, просто складывая слагаемые (к тому же при этом легко было допустить ошибку), а предпочел нестандартный подход. Он быстро понял, что первое число (1) и последнее (100) в сумме дают то же самое значение (101), что второе число и предпоследнее, и это рассуждение можно продолжить, то есть 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... = 50 + 51 = 101. Образовались 50 пар чисел, которые в сумме давали 101 и произведение которых было равно 5050.

Гаусс, сам того не понимая, применил формулу суммы членов арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия — это ряд таких чисел, в котором разность между двумя любыми последовательными членами является постоянной, и эта величина называется разностью прогрессии, просто разностью или шагом. В проблеме, предложенной Гауссу, разность была равна 1. Выражение суммы арифметической прогрессии довольное простое: если члены нашей последовательности — это a1 а2,..., аn, то сумма Sn равна:

Для суммы n первых натуральных чисел Tn равно:

Если мы подставим в предыдущую формулу n= 100, то получим 5050, чего и следовало ожидать.

Доказательство формулы можно получить разными методами, одни из них интуитивны, например использование пар чисел с одинаковой суммой, как это сделал Гаусс, но в более формальном доказательстве обычно используется принцип индукции. Этот метод заключается в том, чтобы доказать, что натуральное число п обладает определенными свойствами, а затем обосновать, что если ими обладает любое натуральное число, то же происходит и со следующим.

Страницы


В нашей электронной онлайн библиотеке вы можете бесплатно и без регистрации прочитать «Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел» автора Lizana Antonio на телефоне, андроиде, айфоне, айпаде. Сейчас вы находитесь в разделе „ГЛАВА 1Первые озарения гения чисел“ на странице 1. Приятного чтения.